条件付き確率からベイズの定理を推定する

ベイズの定理

事象 F が起こるという条件のもとで、事象 E が起こる条件付き確率は次のように書ける。

\[ P(E|F) = \frac{P(E\cap F)}{P(F)} \]

いま、標本空間 Ω の分割を {E1, E2, ...} および任意の事象 F が与えられたとき、事象 F が起こるという条件のもとで、事象 Ei が起こる条件付き確率は次のように書ける。

\[ P(E_{i}|F) = \frac{P(E_{i}\cap F)}{P(F)} = \frac{P(E_{i})P(F|E_{i})}{P(F)} \]

{E1∩F, E2∩F, ...} は F の分割であることに注意おすれば、

\[ P(F) = \sum_{j=1}^{\infty}P(E_{j}\cap F) = \sum_{j=1}^{\infty}P(E_{j})P(F|E_{j}) \]

とかける。このとき、P(Ei|F) は次のように書ける。これがベイズの定理。

\[ P(E_{i}|F) = \frac{P(E_{i})P(F|E_{i})}{\sum_{j=1}^{\infty}P(E_{j})P(F|E_{j})} \]

このベイズの定理をもって、事象 F が起きたとき、原因が Ei である確率 P(Ei|F) を簡単に計算することができる。P(Ei) は原因 Ei の事前確率(prior probability)といい、P(Ei|F) は事後確率(posterior probability)という。