グラフィカルモデル | 確率変数間の関係をグラフの形で表現したモデル

グラフィカルモデルは、確率変数間の関係をグラフの形で表現したモデルである。確率変数間に因果関係が存在するときに、グラフは「原因」→「結果」のように方向性を持つ。有向グラフを利用して、確率変数間に因果関係をグラフィカルに表現したネットワークをベイジアンネットワークという。ベイジアンネットワークは複数の原因と結果で複雑に構成されているが、ある一つの原因あるいは結果（ノード）に着目したときは、そのノードが極めてシンプルであり、そこに至るまでの確率も極めて簡単に計算できる。

基本的なグラフ構造

head-to-tail

3 つのノードからなるグラフが次のように A → B → C のように並ぶとき、その同時確率は次のようにかける。

p (A, B, C) = p (A) p (B | A) p (C | B)

ここで、仮に事象 B の起こる確率が観測されたとき（B が条件づけられたとき）、このネットワークの同時確率分布は、乗法定理 p(A, C, B) = p(A, C| B)p(B) により次のように計算できる。

p (A, C | B) = \frac{p (A, B, C)}{p (B)} = \frac{p (A) p (B | A) p (C | B)}{p (B)} = p (A | B) p (C | B)

このようにグラフが head-to-tail の構造をとる場合は、B が条件づけられることによって、A と C が起こる確率は独立にになる。

tail-to-tails

3 つのノードからなるグラフが次のように A ← B → C のように並ぶとき、その同時確率は次のようにかける。

p (A, B, C) = p (B) p (A | B) p (C | B)

ここで、事象 B が条件づけられたとき、このネットワークの同時確率分布は、乗法定理 p(A, C, B) = p(A, C| B)p(B) により次のように計算できる。

P (A, C | B) = \frac{p (A, B, C)}{p (B)} = \frac{p (A) p (B | A) p (C | B)}{p (B)} = p (A | B) p (C | B)

このようにグラフが tail-to-tail の構造をとる場合も、B が条件づけられることによって、A と C が起こる確率は独立にになる。

head-to-head

3 つのノードからなるグラフが次のように A → B ← C のように並ぶとき、その同時確率は次のようにかける。

p (A, B, C) = p (A) p (C) p (B | A, C)

ここで、事象 B が条件づけられたとき、このネットワークの同時確率分布は、乗法定理 p(A, C, B) = p(A, C| B)p(B) により次のように計算できる。

p (A, C | B) = \frac{P (A, B, C)}{p (B)} = \frac{p (A) p (C) p (B | A, C)}{p (B)} \neq p (A | B) p (C | B)

このようにグラフが head-to-head の構造をとる場合は、B が条件づけられることによって、もともと互いに独立であった A と C が、互いに依存するようになる。例えば、事象 A および事象 C はそれぞれサイコロを降って出た目を確率変数として、事象 B を事象 A と事象 C の合計としたとき、A と C はもともと独立な事象であるが、B （= A + C）が観測されると、A と C は互いに影響を及ぼしあう状態となる。