単位行列
単位行列は、行列の対角線上の成分がすべて 1 で、それ以外の成分がすべて 0 である行列として定義されている。一般的に E と書く。
\[
\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
正則行列
ある行列 A を n 次正方行列とし、AB = BA = E となる n 次正方行列 B が存在するとき、A を正則行列という。
転置行列
ある行列 A の行と列を入れ替えた行列を A の転置行列といい、A の転置行列を AT と書く。
\[
\mathbf{A}^{T} = \begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & x_{13} \\
x_{21} & x_{22} & x_{23}
\end{bmatrix}^{T}
=
\begin{bmatrix}
x_{11} & x_{21} \\
x_{12} & x_{22} \\
x_{13} & x_{23}
\end{bmatrix}
\]
転置行列には次のような性質を持つ。ただし、A および B を行列とし、c を実数とする。
- \( (\mathbf{A}^{T})^{T} = \mathbf{A} \)
- \( (c\mathbf{A})^{T} = c(\mathbf{A}^{T}) \)
- \( (\mathbf{AB})^{T} = \mathbf{B}^{T}\mathbf{A}^{T} \)
R
A <- matrix(1:9, ncol=3, nrow=3)
B <- matrix(c(1,1,1,2,2,2,3,3,3), ncol=3, nrow=3)
A
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 4 7
## [2,] 2 5 8
## [3,] 3 6 9
t(A)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 4 5 6
## [3,] 7 8 9
t(A%*%B)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 12 15 18
## [2,] 24 30 36
## [3,] 36 45 54
t(B) %*% t(A)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 12 15 18
## [2,] 24 30 36
## [3,] 36 45 54複素共役行列
ある行列 A の各成分を複素共役にした行列を複素共役行列といい、\(\overline{\mathbf{A}}\)と書く。
\[
\overline{\mathbf{A}} = \overline{\begin{bmatrix}
2+3i & 0 \\
2 & i
\end{bmatrix}}
=
\begin{bmatrix}
2-3i & 0 \\
2 & -i
\end{bmatrix}
\]
転置行列には次のような性質を持つ。ただし、A および B を行列とし、c を複素数とする。
- \( \overline{\overline{\mathbf{A}}} = \mathbf{A} \)
- \( \overline{\mathbf{A} + \mathbf{B}} = \overline{\mathbf{B}} + \overline{\mathbf{A}} \)
- \( \overline{c\mathbf{A}} = \overline{c}\overline{\mathbf{A}} \)
- \( \overline{\mathbf{A}\mathbf{B}} = \overline{\mathbf{B}}\overline{\mathbf{A}} \)
R
A <- matrix(c(1,2i,3+4i,-1,-2i,-3-4i), ncol = 3, nrow = 2, byrow = T)
A
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1+0i 0+2i 3+4i
## [2,] -1+0i 0-2i -3-4i
Conj(A)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1+0i 0-2i 3-4i
## [2,] -1+0i 0+2i -3+4i伴随行列
ある行列 A の行と列を入れ替えた後に、各成分を複素共役にした行列を複素共役行列といい、\(\mathbf{A}^{*}\)と書く。
\[
\mathbf{A}^{*} = \overline{\mathbf{A}^{T}} = \overline{\begin{bmatrix}
2+3i & 0 \\
2 & i
\end{bmatrix}^{T}}
=
\begin{bmatrix}
2-3i & 2 \\
0 & -i
\end{bmatrix}
\]
- \( (\mathbf{A}^{*})^{*} = \mathbf{A} \)
- \( (\mathbf{A} + \mathbf{B})^{*} = \mathbf{A}^{*} + \mathbf{B}^{*} \)
- \( (c\mathbf{A})^{*} = \overline{c}\overline{\mathbf{A}}^{*} \)
- \( (\mathbf{A}\mathbf{B})^{*} = \mathbf{B}^{*}\mathbf{A}^{*} \)
R
A <- matrix(c(1, 2i, 3+4i, -1, -2i, -3-4i), ncol = 3, nrow = 2, byrow = T)
A
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1+0i 0+2i 3+4i
## [2,] -1+0i 0-2i -3-4i
Conj(t(A))
## [,1] [,2]
## [1,] 1+0i -1+0i
## [2,] 0-2i 0+2i
## [3,] 3-4i -3+4iエルミート行列・ユニタリ行列
ある行列 A と、行列 A の伴随行列との間の関係によって、行列 A の呼び方が異なる。行列 A のすべての成分が実数からなるとき、A* = A が成り立つならば、行列 A をとくに実対称行列とよぶ。また、A* = E が成り立つならば、行列 A をとくに直行行列とよぶ。
行列 A の成分が複素数からなるとき、A* = A が成り立つならば、行列 A をとくにエルミート行列とよぶ。また、A* = E が成り立つならば、行列 A をとくにユニタリ行列とよぶ。
| 行列成分 | A* = A | A* = E |
| 実数 | 実対称行列 | 直交行列 |
| 複素数 | エルミート行列 | ユニタリ行列 |