確率 p で表面になるコインを n 回投げたとき、表面となった回数は二項分布に従う。これに対して、表面になる確率 p が定数ではなく、ベータ分布に従う変数としたとき、表面の出る回数はベータ二項分布に従うようになる。
すなわち、
\[ p \sim \mathbf{Beta}(a, b)\]
\[ X \sim \mathbf{BB}(n, a,b) \]
ベータ二項分布の確率関数は次の用になっている。。
\[
f(x) = P(X=k) = \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\frac{\frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(b+n-k)}{\Gamma(b)}}{\frac{\Gamma(a+b+n)}{\Gamma(a+b)}}
\]
ベータ二項分布の期待値と分散を示している。
\[
\begin{eqnarray}
E(X) &=& n\frac{a}{a+b}\\
V(X) &=& n\frac{ab}{(a+b)^2}\frac{a+b+n}{a+b+1}
\end{eqnarray}
\]