キュムラント母関数 | モーメント母関数の対数として定義される関数

確率変数 X のモーメント母関数 M_X(t) に対し、

K_{X} (t) = \log (M_{X} (t))

となる関数 K_X(t) をキュムラント母関数という。

キュムラント母関数を級数展開したとき、その係数列をキュムラントという。また、係数 κ_n を n 次のキュムラントという。

K_{X} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} κ_{n} = 0 + t κ_{1} + \frac{t^{2}}{2!} κ_{2} + \dots

n 次キュムラントは次のように計算できる。

κ_{n} = {\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} K_{X} (t) |}_{t = 0}

Z = X + Y のとき、Z のキュムラント母関数は X と Y のそれを用いて次のように計算できる。

Z = X + Y ⟹ K_{Z} (t) = K_{X} (t) + K_{Y} (t)

歪度と尖度

確率分布の形の特徴を表す指標として、歪度と尖度がある。歪度は分布の対称性を示す指標であり、尖度は分布の尖りの具合を示す指標である。キュムラントと歪度 β₁ ・尖度 β₂ との間は次の関係が成り立つ。

歪度は次式によって定義される。ただし、σ は、確率変数 X の標準偏差を表す。分布が正規分布のとき、分布は左右対称であるため歪度はゼロになる。

β_{1} = \frac{κ_{3}}{κ_{2}^{\frac{3}{2}}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

尖度は次式によって定義される。このとき、正規分布の尖度はゼロである。

β_{2} = \frac{κ_{4}}{κ_{2}^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}} - 3

一方で、正規分布の尖度を 3 と定義する場合もある。このとき、尖度は次のように計算する。

β_{2} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}