最大値と最小値の差の分布（一様分布） | 一様分布の最大値と最小値の差はベータ分布に従う

確率変数 X が一様分布に従うとき、その最大値と最小値の差はベータ分布に従う。n 個の確率変数 X_i (i = 1, 2, ..., n) が最小値 0 かつ最大値 1 の一様分布に従うとする。すなわち、

X_{i} = U (0, 1)

最大値の分布

X_i の最大値を M とする。X_i が一様分布に従うことに注意すると、M の累積分布関数は以下のように求められる。

\begin{array}{rcl} P (M \leq x) & = & 1 - P (M \geq x) \\ = & 1 - \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \geq x) \\ = & 1 - P (X \geq x)^{n} \\ = & 1 - (1 - P (X \leq x))^{n} \\ = & 1 - (1 - x)^{n} \end{array}

よって、M の確率密度関数は以下のように求められる。

\begin{array}{rcl} f_{M} (x) & = & \frac{d}{d x} P (M \leq x) \\ = & n (1 - x)^{n - 1} \end{array}

X_i の最小値を m とする。X_i が一様分布に従うことに注意すると、m の累積分布関数は以下のように求められる。

\begin{array}{rcl} P (m \leq x) & = & \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \leq x) \\ = & P (X \leq x)^{n} \\ = & x^{n} \end{array}

よって、m の確率密度関数は以下のように求められる。

\begin{array}{rcl} f_{m} (x) & = & \frac{d}{d x} P (m \leq x) \\ = & n x^{n - 1} \end{array}

最大値と最小値の差 D を従う分布は、M と m が独立でないので、f_D(x) = f_DM - f_Dm として求めることがでいない。

ここで、確率変数 X_i の範囲を d とし、d と最大値 y は以下の二通りに分けて考えることができる。

x < 1 - d のとき、確率変数 X_i は [x, x+d] に含まれる。このとき、最大値 Y = x を除いた残りの n - 1 個の確率変数が [x, x+d] に一様分布する確率は d/(1-x) である。これをイベント E とする。
x > 1 - d のとき、確率変数 X_i は [x, 1] = [1 - d, 1] に含まれる。このとき、すべての点が範囲 d に含まれる。

このとき、最大値と最小値の差 D の累積分布関数は以下のように二つの場合に分けて求められる。

\begin{array}{rcl} P (D \leq d) & = & \int_{0}^{1 - d} f_{M} P (E) d x + P (M \geq 1 - d) \\ = & \int_{0}^{1 - d} n (1 - x)^{n - 1} {(\frac{d}{1 - x})}^{n - 1} d x + d^{n} \\ = & \int_{0}^{1 - d} n d^{n - 1} d x + d^{n} \\ = & n d^{n - 1} (1 - d) + d^{n} \end{array}

また、確率密度関数は以下のように計算できる。

\begin{array}{rcl} f_{D} (x) & = & \frac{d}{d x} P (D \leq d) \\ = & (1 - x) x^{n - 2} (n - 1) n \\ = & \frac{x^{n - 2} (1 - x)}{\frac{n - (n + 1)}{(n - 1) n}} \\ = & \frac{x^{n - 2} (1 - x)}{\int_{0}^{1} t^{n - 2} (1 - t) d t} \\ \sim & Beta (n - 1, 2) \end{array}

従って、確率変数 X が一様分布に従うとき、その最大値と最小値の差がベータ分布に従うことが確認できる。

João Neto. Distribution of max, min and ranges for a sequence of uniform rv’s. Website