確率変数 X がゼロ以上の離散値を取るとき、tX の期待値を確率母関数（probability generating function）という。
\[G_{X}(t) = E[t^{X}] = \sum^{\infty}_{x=0}p(x)t^{x}\]確率母関数と似たものとして、任意の実数値をとる確率変数 X における etx の期待値をモーメント母関数という。
確率母関数の性質
確率母関数から、確率変数の期待値や分散を求めることができる。そのほかに、以下のような性質を持つ。
- X の期待値を E(X) とすると、\(E(X) = G_{X}^{'}(1)\)
- X の分散を Var(X) とすると、\(Var(X) = G_{X}^{''}(1) + G_{X}^{'}(1) - \{G_{X}^{'}(1)\}^{2}\)
- X のモーメント母関数を MX(t) とすると、\( M_{X}(t) = G_{X}(e^{t}) \) が成り立つ。
- X の k 次の階乗モーメントを μ[k] としたとき、\[ \mu _{[k]} = G_{X}^{k}(1) = \left . \frac{d^{k}}{dt^{k}}G_{X}(t)\right |_{t=1}\]が成り立つ。
- Z = X + Y のとき、Z の確率母関数は \(G_{Z}(t) = G_{X}(t)G_{Y}(t)\) となる。
様々な分布の確率母関数
| 分布 | 分布関数 | 確率母関数 |
| ポアソン分布 | \( \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \) | \( e^{\lambda (t - 1)} \) |
| 二項分布 | \( \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{n-k} \) | \( (1-p+pt)^{n} \) |