確率母関数 | 非負整数値をとる離散型確率変数の関数に対して定義される関数

確率変数 X がゼロ以上の離散値を取るとき、t^X の期待値を確率母関数（probability generating function）という。

G_{X} (t) = E [t^{X}] = \sum_{x = 0}^{\infty} p (x) t^{x}

確率母関数と似たものとして、任意の実数値をとる確率変数 X における e^tx の期待値をモーメント母関数という。

確率母関数の性質

確率母関数から、確率変数の期待値や分散を求めることができる。そのほかに、以下のような性質を持つ。

X の期待値を E(X) とすると、 $E (X) = G_{X}^{^{'}} (1)$
X の分散を Var(X) とすると、 $V a r (X) = G_{X}^{^{″}} (1) + G_{X}^{^{'}} (1) - {G_{X}^{^{'}} (1)}^{2}$
X のモーメント母関数を M_X(t) とすると、 $M_{X} (t) = G_{X} (e^{t})$ が成り立つ。
X の k 次の階乗モーメントを μ_[k] としたとき、
$μ_{[k]} = G_{X}^{k} (1) = {\frac{d^{k}}{d t^{k}} G_{X} (t) |}_{t = 1}$
が成り立つ。
Z = X + Y のとき、Z の確率母関数は $G_{Z} (t) = G_{X} (t) G_{Y} (t)$ となる。

分布	分布関数	確率母関数
ポアソン分布	$\frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$	$e^{λ (t - 1)}$
二項分布	$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$(1 - p + p t)^{n}$