t 分布 | 小サンプルサイズの平均と分散から計算される t 値は t 分布に従う

X₁, X₂, ..., X_n を、平均 μ および分散 σ² の正規分布に従う確率変数とする。このとき、標本平均を $\overset{―}{X}$ 、標本不偏分散を $S^{2}$ とする。

\overset{―}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overset{―}{X})}^{2}

ここで、標本平均と母平均の差を測るために新しい確率変数 T を導入する。新しい確率変数を、標本平均および標本不偏分散を用いて次のようにする。（新しい確率変数 T の式は、粗雑に次のように置いたのではなく、裏に大数の法則・中央極限定理という思想があり、それをもとに次式のように置いてある。）

T = \frac{(\overset{―}{x} - μ)}{\frac{S}{\sqrt{n}}}

n が十分に大きければ、中心極限定理により T は、平均 0 および分散 1 の正規分布に従うことが知られている。

T \sim N (0, 1)

これに対して、n が小さいとき、T は自由度 ν = n - 1 の次式で表せる分布に従うことが、W.S. Gosset および R.A. Fisher によって示された。のちに、この分布は t 分布と呼ばれるようになった。

T \sim t (ν) = \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{\sqrt{ν π} Γ (\frac{ν}{2})} {(1 + \frac{t^{2}}{ν})}^{- \frac{ν + 1}{2}}

これにより、n が十分に大きくないときは t 分布を利用して、母平均の信頼区間を求めることができる。サンプルサイズが大きい時の母平均の区間推定と同様な手順で、小サンプルサイズの場合、母平均は確率 α で次の範囲内に収まる。

P (\overset{―}{x} - t_{α / 2} \frac{s}{\sqrt{n}} \leq μ \leq \overset{―}{x} + t_{α / 2} \frac{s}{\sqrt{n}}) = 1 - α

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}