行列 | R による行列の演算

R の行列は数学の行列とほぼ同じ概念である。行と列からなる、2 次元配置のデータである。2 次元配置のデータ型は、行列のほかに、データフレームもある。行列について、行列に含まれるすべての要素が同じ属性を持つ必要がある。言い換えると、行列に含まれているすべての要素は同じ単位である必要がある。また、R では、行列に似たものでデータフレームと呼ばれる概念が存在する。データフレームは、行列とは異なり、列ごとに異なる単位を持つことができる。

行列の作成

行列は matrix 関数に行列の要素、列数、行数を指定して作成する。

matrix(1:9, nrow = 3, ncol = 3)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    4    7
## [2,]    2    5    8
## [3,]    3    6    9

matrix(1:9, nrow = 3, ncol = 3, byrow = T)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    3
## [2,]    4    5    6
## [3,]    7    8    9

行列の行と列に名前を付けることができる。

m <- matrix(1:12, nrow = 3, ncol = 4)

colnames(m) <- c("A", "B", "C", "D")
rownames(m) <- c("first", "second", "third")

m
##        A B C  D
## first  1 4 7 10
## second 2 5 8 11
## third  3 6 9 12

行列の要素

行列から要素を取り出すとき、角括弧を利用して、行数と列数を指定して行う。行数と列数を複数指定することで、複数の要素を取り出すことができる。また、行数だけを指定して、列数を両略する場合は、指定された行の行ベクトルを取得できる。

x <- matrix(c(1:16), nrow = 4, ncol = 4)
x
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    5    9   13
## [2,]    2    6   10   14
## [3,]    3    7   11   15
## [4,]    4    8   12   16

x[3, 2]
## [1] 7

## x[3, ]
[1]  3  7 11 15

x[-3, ]
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    5    9   13
## [2,]    2    6   10   14
## [3,]    4    8   12   16

x[c(1,2),c(3,4)]
##      [,1] [,2]
## [1,]    9   13
## [2,]   10   14

行列の行と列に名前が付けられている場合、行名と列名で要素を取得できる。

m <- matrix(1:12, nrow = 3, ncol = 4)
colnames(m) <- c("A", "B", "C", "D")
rownames(m) <- c("first", "second", "third")

m[, "D"]
##  first second  third 
##     10     11     12

m[c("first", "second"), c("B", "C", "D")]
##        B C  D
## first  4 7 10
## second 5 8 11

行列の計算

式	入力式	意味
`-`	`-A`	各成分に(-1)をかける。逆行列を計算しているわけではない。
`*`	`A * B`	各成分をそれぞれ個別に積をとる。すなわち、a_ij*b_ijを計算している。行列の積を計算しているわけではない。
`%*%`	`A %*% B`	行列 A と行列 B の積。すなわち、Σa_ij*b_ji を計算している。
`+`	`A + B`	行列 A と行列 B の和。
`-`	`A - B`	行列 A と行列 B の差。

A <- matrix(1:9, 3, 3)
B <- matrix(1:9, 3, 3)

A + B
##     [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    8   14
## [2,]    4   10   16
## [3,]    6   12   18

A * B 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1   16   49
## [2,]    4   25   64
## [3,]    9   36   81

A %*% B 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   30   66  102
## [2,]   36   81  126
## [3,]   42   96  150

固有値や逆行列は、R の関数で計算する。

式	意味
`rowSums(x)`	行列 x の各行の総和
`solSums(x)`	行列 x の各列の総和
`rowMeans(x)`	行列 x の各行の平均
`colMeans(x)`	行列 x の各列の平均
`t(x)`	行列 x を転置
`solve(x)`	行列 x の逆行列
`diag(n)`	n 行 n 列の単位行列
`diag(a₁:a_n)`	対角成分が (a₁, a₂, …, a_n) の対角行列
`x[upper.tri(x)] <- n`	対角成分を除く上三角成分をすべて n に置換
`x[lower.tri(x)] <- n`	対角成分を除く下三角成分をすべて n に置換
`sum(x^n)`	行列 x の n 乗積
`crossprod(x)`	行列 x のベクトル積
`crossprod(x,y)`	行列 x と行列yの内積
`eigen(x)`	行列 x の固有値と固有ベクトル
`det(x)`	行列 x の行列式

X <- diag(1:3)

X
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    2    0
## [3,]    0    0    3
## X[upper.tri(X)] <- 4

X
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    4    4
## [2,]    0    2    4
## [3,]    0    0    3

det(X)
## [1] 6

eigen(X)
## $values
## [1] 3 2 1
## $vectors
##            [,1]      [,2] [,3]
## [1,] 0.92450033 0.9701425    1
## [2,] 0.36980013 0.2425356    0
## [3,] 0.09245003 0.0000000    0

solve(X)
##      [,1] [,2]       [,3]
## [1,]    1 -2.0  1.3333333
## [2,]    0  0.5 -0.6666667
## [3,]    0  0.0  0.3333333

行列の結合

2 つの行列を、横方向で結合するとき（列の結合）は cbind 関数を使う。2 つの行列を、縦方向で結合するとき（行の結合）は rbind 関数を使う。

a <- matrix(1:9, 3, 3)
b <- matrix(11:19, 3, 3)

rbind(a, b)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    4    7
## [2,]    2    5    8
## [3,]    3    6    9
## [4,]   11   14   17
## [5,]   12   15   18
## [6,]   13   16   19

cbind(a, b)
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]    1    4    7   11   14   17
## [2,]    2    5    8   12   15   18
## [3,]    3    6    9   13   16   19