中心極限定理 | n が十分に大きいとき、確率変数の和が平均 nμ および分散 nσ2 に収束する

中心極限定理は、母集団の分布の形に関係なく、その母集団から独立にサンプリングした n 個の標本の和 S_n = x₁ + x₂ + ... + x_n の分布が、n が十分に大きくなると、正規分布に近似できることを定理として表したものである。中心極限定理は次のような形で表される。

lim_{n \to \infty} P (a \leq \frac{S_{n} - n μ}{\sqrt{n} σ} \leq b) = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x

この式を言い換えると、n が十分に大きければ、n 個の標本の和 S_n は、平均 nμ および分散 nσ² の正規分布に近づく。

S_{n} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} \sim N (n μ, n σ^{2})

また、「母集団からサンプリングを行い、S_n を計算する」試行を m 回繰り返したときに得られる m 個の S_n の分布は、平均 μ および分散 σ²/m の正規分布に近づく。

\overset{―}{x} = \frac{S_{n}}{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{m})

そのため、母平均を正確に推定するためには、母集団からサンプリングする際の標本数を増やし、かつサンプリング作業を繰り返すことが必要である。