状態空間モデルにおいて、観測値 y₁, y₂, .., y_t が与えられたとき、状態 x_i (i = 1, 2, ..., t-1, t, t+1, ...) を推定することができる。観測値 y₁, y₂, .., y_t のもとで推定された、状態 x_t の分布をフィルタ分布（フィルタリング分布）、x_r (r < t) の分布を平滑化分布、x_s (s > t) の分布を予測分布と呼ぶ。

フィルタ分布

いま、観測値 y₁, y₂, .., y_t が与えられ、また状態方程式および観測方程式のパラメーターも既知とする。このとき、フィルタ分布は次のように求めることができる。

ここで、条件付き確率の関係を用いて、

状態空間モデルにおいて、観測値 y_t は、状態 x_t のみに依存するので、

このとき、p(x_t | y_1:t-1) を 1 期先予測分布、p(y_t | y_t-1) を 1 期先予測尤度という。

1 期先予測尤度と状態 x_t の関係を示すために、状態 x_t に関して周辺化を行う。（x_t に関して周辺化を行うことで、x_t が取りうるすべての値において、その値となる確率を積分しているので、x_t に関して周辺化すると確率変数 x_t に関しては 1 となる。よって次の式の 1 行目が成り立つ。）

以上の式変形により、観測値 y₁, y₂, .., y_t が与えられたとき、フィルタ分布は次の式で表せるようになる。

平滑化分布

観測値 y₁, y₂, .., y_t が与えられ、また状態方程式および観測方程式のパラメーターも既知とする。このとき、状態 x_r (r < t) における平滑化分布 p(x_r | y_1:t) を求めるには、時点 t までのフィルタ分布が求まり、時点 t から時間を遡って求めることになる。そのため、平滑化分布 p(x_r | y_1:t) と状態 x_r+1 の関係を明らかにして、漸化式を作っていく必要がある。ここで、まず平滑化分布 p(x_r | y_1:t) に対して x_r+1 で周辺化を行なってから、式変更して行なっていく。

予測分布

観測値 y₁, y₂, .., y_t が与えられ、また状態方程式および観測方程式のパラメーターも既知とする。このとき、状態 x_s (s > t) における予測分布 p(x_s | y_1:t) を求めるには、時点 t までのフィルタ分布が求まり、時点 t+1, t+2, ..., s-1, s のように逐次的に状態の予測分布を求めていく必要がある。そのため、予測分布 p(x_s | y_1:t) と状態 x_s-1 の関係を明らかにして漸化式を作って必要がある。ここで、予測分布 p(x_s | y_1:t) に対して x_s-1 で周辺化を行う。