生物統計学

Generalized Linear Model (GLM)

一般化線形モデル

データが正規分布に従うとき、回帰分析は、従属変数 Y と独立変数 X を、パラメーター β でモデル化できる。そのモデル式は E[Y] = Xβ と書ける。しかし、データが正規分布に従わないときに、各独立変数 X に対応する従属変数 Y の分散が一定でなくなり、データを正規分布と仮定した一般線形モデルが利用できなくなる。

そこで、ある関数を使って、従属変数 Y の値を変換したあとに、モデル化することを考える。例えば、Y がポアソン分布に従う場合に、X が大きくなると、Y の分散も大きくなる。そこで、Y の値を対数変換すると、Y の値が大きくなっても、対数変換後の Y の値がそれほど大きくならず、Y の分散も小さくなる。このような状態で、対数変換した Y を X でモデル化することができるようになる。このような関数のことをリンク関数あるいは連結関数とよぶ。一般化線形モデルでは、リンク関数 G を用いて、 G(E[Y]) = Xβ のようにモデル化を行う。

References

  1. Nelder J, Wedderburn R. Generalized Linear Models. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General). 1972, 135(3):370-384. JSTOR
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  5. 久保 拓弥 確率と情報の科学 データ解析のための統計モデリング入門 ― 一般化線形モデル・階層ベイズモデル・MCMC. 2012.
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